Relena en el Acuario. Entendiendo el Mundo a través de las Ecuaciones Diferenciales

Siempre he tenido una relación caótica con el cálculo infinitesimal porque nunca lo aprendí adecuadamente, pero no puedo vivir sin él. Tampoco me gustan los métodos tradicionales de enseñanza de ecuaciones diferenciales en la mayoría de cursos universitarios pues están llenos de formalismos, así que hoy quiero mostrarte cómo me hubiese gustado haber aprendido ecuaciones diferenciales: no con el propósito final de volverme bueno en resolver ecuaciones diferenciales, sino con el objetivo de describir el mundo usando las ecuaciones diferenciales como nuestro idioma. En las siguientes entradas en este blog te contaré la historia de una niña muy curiosa llamada Relena, quien descubrirá una nueva manera de entender lo que pasa a su alrededor.

Pero, antes de eso, déjame explicar por qué afirmo que nunca aprendí cálculo de forma adecuada y qué es lo que me ha llevado a escribir esta historia. Los siguientes cuatro párrafos tratan de mis antecedentes y puedes ignorarlos si quieres leer solamente la historia de Relena.

El Hijo Pródigo

Cuando era niño, la gente solía decirme que era bueno para las Matemáticas (y lo era, aunque no sé si pueda decir lo mismo ahora). Creo que nunca fui particularmente talentoso sino que simplemente me gustaban. Una de mis memorias de infancia más preciosas junto a mi padre es el día en que me enseñó a convertir números decimales a binarios (sí, lo sé; absolutamente nerd). Siempre pensé en las Matemáticas como un juego y podría haber pasado tardes enteras escribiendo números aleatorios enormes y convirtiéndolos a binario, ternario y cuaternario mucho años antes de haber estudiado el concepto de sistemas numéricos en la escuela. Mis hermanos también me enseñaron varias cosas. Así seguí aprendiendo muchas herramientas Matemáticas que atesoré en mi cerebro como un niño atesora sus juguetes en una caja. El resultado es que, incluso al llegar a la secundaria, todas las Matemáticas que aprendí en la escuela parecían simplemente formalizaciones aburridas de todo lo que ya sabía.

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Por el contrario, mi memoria más temprana de la escuela es el momento en el que la campana sonaba y me podía ir a mi casa.

El tiempo pasó y mi madre y yo nos encontramos con varias personas que me motivaron a estudiar Matemáticas mas allá de lo que podía aprender en la escuela. Esto me llevó lentamente a participar en la Olimpiada Nacional de Matemáticas cuando tenía doce años, lo cual, irónicamente, es lo que me llevo a estudiar Química, pero esa es otra historia. Seguí participando en las olimpiadas de Química y Matemática hasta que logré representar a mi país en la Olimpiada Internacional de Matemáticas y ganar una medalla de oro en la Olimpiada Iberoamericana de Química en el mismo año. Por cinco años me enfoqué en estudiar “Matemáticas de olimpiada” y Química universitaria de forma simultánea.

El problema es que, dado que siempre me interesaron las Matemáticas simples y divertidas y no tanto las aplicadas, considerando el hecho de que en la secundaria en mi país no se estudia ni siquiera el concepto de límite, resulta que nunca tuve la oportunidad de aprender cálculo. Lo que se estudia para olimpiadas de Matemáticas tampoco incluye el cálculo infinitesimal, dado que se suele enfocar en la creatividad y no tanto en la funcionalidad de lo que se aprende. Por si fuera poco, el único lugar donde podría haberme acercado al cálculo habría sido la Química Física, pero, dado que no todos teníamos bases matemáticas fuertes, solíamos simplemente memorizar muchas fórmulas y explicar todo de forma cualitativa, asumiendo que nadie sabía integrar. El resultado: hasta antes de entrar a la universidad, aunque ya había aprendido a derivar en integrar para poder estudiar en el extranjero, siempre sentí que usar cálculo en problemas de Física y Química era algo muy difícil que aprendería algún día en un futuro lejano.

No puedo explicar lo incómodo que me sentí cuando me di cuenta de que estudiaría termodinámica a partir del segundo año en la universidad, sólo después de haber estudiado cálculo y aprender sobre ecuaciones diferenciales. Recibí muchas clases de matemáticos aplicados que sólo lograron matar mi interés por las matemáticas con sus formalismos, llevandome a cuestionar si lo que estaba aprendido era útil para un químico o al menos divertido (los cuales eran mis dos criterios para decidir si algo valía la pena en esos días). Afortunadamente, tomé un curso de ecuaciones diferenciales enfocado en fisicoquímica y otro curso en línea de la Universidad de Boston en edX que me ayudaron a comprender la belleza y la importancia de aprender sobre las ecuaciones diferenciales. Creo que mi situación era similar a la de muchas personas que luchan por aprender inglés porque necesitan aprobar una materia o algún examen como el TOEFL, mientras que otras personas lo aprenden fácilmente porque simplemente quieren comunicarse con otros angloparlantes, volviéndose no un objetivo, sino un medio. De la misma forma, yo estaba aprendiendo a resolver ecuaciones diferenciales para resolver los problemas de un examen, cuando podría haberme dado cuenta de que es simplemente una manera de entender diversos fenómenos, desde mecánica hasta crecimiento poblacional, desde reacciones químicas hasta conexiones neurales y desde diseño de puentes hasta diseño de aviones.

calculus

Una representación certera de mis sentimientos por las ecuaciones diferenciales.

Relena va al Acuario

En esta ocasión quiero tratar un enfoque que me gusta mucho. Asumiendo que sabemos derivar e integrar, veamos cómo podemos lentamente derivar, valga la redundancia, varios conceptos sobre ecuaciones diferenciales a través de la observación de fenómenos simples que pasan a nuestro alrededor en lugar de hacerlo al contrario. Para lograrlo, nos iremos de excursión junto a nuestra amiga Relena  en su visita al acuario municipal. Este no es cualquier tipo de acuario. Digamos que es un poco… viejo.

Relena es una joven que ama observar cosas moviéndose o cambiando. Recientemente aprendió cálculo y se dio cuenta de que existe una forma matemática de expresar cambios: las derivadas. Notó que muchos problemas sobre derivadas e integrales en su clase se relacionaban con el movimiento de objetos. Por ejemplo, la derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo, \frac{dx}{dt} , nos indica la tasa a la que se mueve ese objeto. Si esa tasa tiene un valor numérico de 2, durante el período de tiempo infinitesimalmente pequeño representado por dt , el objeto se movería una distancia dos veces mayor que la de un objeto para el cual esa derivada tiene un valor de 1. Relena de repente se da cuenta de que esta tasa de cambio en la posición de un objeto no es más que su velocidad (ésta es, de hecho, una definición más formal de la velocidad). Relena se pregunta si saber que la velocidad es una derivada puede ayudarle a entender diferentes tipos de movimiento. Bueno, ya es demasiado tarde para pensar en eso ya que Relena tiene que dormirse temprano para despertarse a tiempo e ir al acuario al día siguiente, por lo que decide irse a la cama.

Al día siguiente, Relena se despierta y toma un autobús al acuario. No hay mucho tráfico en la carretera así que el autobús va a una velocidad casi constante (60 Km/h). Aunque las ecuaciones que rigen el movimiento rectilíneo uniforme son triviales, Relena se pregunta cómo podemos tratar con esta situación sólo sabiendo que no hay fuerzas que actúan sobre el autobús (primera ley de Newton) y usando en derivadas, es decir, sabemos sólo que:

F=ma=0

a=0

Pero, ¿qué es la aceleración? Relena sabe que es la tasa de cambio de la velocidad, por lo que escribe:

\frac{dv}{dt}=0

Esta es la primera ecuación diferencial de Relena. Relena se da cuenta de que tiene una derivada en un lado y una expresión que se puede integrar fácilmente en el otro lado, por lo que decide integrar:

v=\int 0 dt

v=A,

donde A es la constante de integración. Relena se pregunta por qué sólo obtiene una constante que podría tomar cualquier valor. Se da cuenta de que la primera ecuación (a = 0 ) es válida para cualquier autobús en movimiento a cualquier velocidad constante, por lo que tiene sentido que no obtengamos una respuesta específica, sino una constante cuyo valor será decidido por la situación específica en la que nos encontramos. Relena entonces simplemente utiliza el hecho de que, en un instante arbitrario, v(t) = 60 Km/h; por lo tanto, A = 60 Km/h en cualquier momento.

relebus

Relena quiere ir más allá, porque sabe que la velocidad es la tasa de cambio de la posición. Dado que el autobús se ha estado moviendo en la misma calle en la misma dirección, podemos pensar en función de una sola coordenada x, y repetir el mismo proceso:

\frac{dx}{dt} = 60 Km/h

x=\int 60 dt

x = 60t + B

donde B es la constante de integración. Relena se pregunta ahora qué significa este término B. Esta vez, sin embargo, tenemos también un término que depende del tiempo en nuestra ecuación. Relena intenta evaluar x para t = 0:

x(0) = B

¡Es eso! ¡B es la posición del autobús en el momento inicial que hayamos escogido! El autobús se encuentra en este momento a cerca de 2 kilómetros de la casa de Relena. Si elegimos t = 0 siendo este momento exacto y definimos x como la distancia desde la casa de Relena, podemos describir el movimiento del autobús con la ecuación:

x(t) = (60 km/h) t + 2 km

“Bueno,” Relena piensa, “podría haber derivado fácilmente esto sin ningún tipo de derivadas.” Ella tiene razón, pero en realidad acaba de abrir la puerta a una forma diferente de abordar los fenómenos físicos. Vamos a analizar lo que hizo Relena. Ella resolvió primero una ecuación diferencial para la velocidad y luego otra para la posición. Pero podría haber hecho todo en un solo paso si hubiese sustituido la velocidad por la derivada de la posición con respecto al tiempo al inicio:

\frac{dv}{dt} = \frac{d(\frac{dx}{dt})}{dt}=0

\frac{d^2x}{dt^2} = 0

Hasta ahora nos habíamos encontrado sólo con ecuaciones diferenciales con una primera derivada, pero ésta tiene una segunda derivada. Tales ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones diferenciales de segundo orden, respectivamente. En este caso, no es un gran problema ya que todavía podemos simplemente integrar ambos lados dos veces con respecto a t y obtendremos:

x = At + B

Este es exactamente el tipo de ecuación que Relena obtuvo. Tenemos dos constantes aquí, así que necesitamos conocer dos pares de valores (t, x) con el fin de escribir un sistema de dos ecuaciones que nos permita encontrarlas. Podemos ver que x=B cuando t=0 (que sería la primera pareja, (0, B)) y una vez que conocemos el valor de B, si se nos da otro par (t, x) podemos calcular A = (x-B)/t y obtener la solución de Relena. Podemos concluir de esto que cada vez que se resuelve una ecuación diferencial, nuestra solución contendrá constantes o parámetros que podemos determinar solamente si conocemos soluciones específicas de la ecuación. Considerando estas soluciones como “condiciones iniciales”, este tipo de problemas son llamados problemas de valor inicial.

Relena finalmente llega al acuario, que se mira un poco viejo. Mientras va entrando, una gota de agua cae sobre su hombro. Relena mira hacia arriba y ve una tubería con una fuga. Antes de darse cuenta de que una fuga de agua en un acuario no puede traer nada bueno, comienza a pensar en el movimiento de caída libre de la gota. Debe ser similar al problema del autobús, pero esta vez la aceleración no es cero, sino g. Cuando está a punto de escribir otra ecuación diferencial en una servilleta que encontró en su bolsillo, la servilleta se cae de sus manos. Relena observa la servilleta cayendo lentamente a medida que el viento debajo de ella ofrece su resistencia y se da cuenta de que este es un problema más interesante.

Será Relena capaz de resolver este nuevo problema? Puedes suscribirte a este blog haciendo clic en el botón “follow” en la esquina superior derecha (o debajo de esta entrada si estás usando un smartphone) o también puedes seguir The Relearner en Facebook, Twitter e Instagram para ver nuestras entradas más recientes en tus redes sociales. The Relearner trabaja para ti y también gracias a ti, así que por favor dale un vistazo a nuestra sección “Apóyanos” en nuestro blog. Comparte esta entrada en Facebook, Twitter o Instagram con el hashtag #TheRelearner y cuéntanos una situación de tu vida cotidiana en la que podrías encontrar una ecuación diferencial. Podrás tener la oportunidad de ganar un bonito souvenir de la Universidad de Nagoya. Un ganador será elegido cada mes. Gracias y ¡hasta la próxima!

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